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智力题专题

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By SmallC
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title: 智力题专题 date: 2025-08-30 20:51:07 tags: [八股]

  1. 帽子问题

一群人开舞会,每人头上都戴着一顶帽子。帽子只有黑白两种,黑的至少有一顶。每个人都能看到其他人帽子的颜色,却看不到自己的。主持人先让大家看看别人头上戴的是什么帽子,然后关灯,如果有人认为自己戴的是黑帽子,就拍拍手。第一次关灯,没有声音。于是再开灯,大家再看一遍,关灯时仍然鸦雀无声。一直到第四次关灯, 才拍手声音响起。问有多少人戴着黑帽子？

答案：第几次有人拍手就说明有几个人戴着黑帽子。

这是一个经典的逻辑推理题，关键在于归纳推理和共同知识。

我们来一步步分析：

题目关键信息：

  • 帽子只有黑、白两种。
  • 黑帽子至少有一顶。
  • 每个人都能看到别人头上的帽子，但看不到自己的。
  • 主持人让大家看别人，然后关灯，如果认为自己戴的是黑帽子，就拍手。
  • 第一次关灯：没人拍手。
  • 第二次关灯：没人拍手。
  • 第三次关灯：没人拍手。
  • 第四次关灯：有人拍手。

问：有多少人戴着黑帽子？

推理过程：

我们用归纳法来思考。

情况 1：如果只有 1 顶黑帽子

  • 那个戴黑帽子的人会看到：所有人都是白帽子。
  • 他知道黑帽子至少有一顶，所以他立刻推断：“既然我看到的都是白帽子，那黑帽子只能是我自己戴的。”
  • 所以在第一次关灯时，他就会拍手。

但题目中第一次关灯没人拍手 → 所以不可能只有 1 顶黑帽子。

情况 2：如果有 2 顶黑帽子

假设是 A 和 B 戴黑帽子。

  • A 看到 B 戴黑帽子，B 看到 A 戴黑帽子。
  • A 会想：“我看到 B 戴黑帽子。如果我戴的是白帽子，那么 B 就会认为他是唯一一个戴黑帽子的人，所以 B 应该在第一次关灯时拍手。”
  • 但第一次关灯没人拍手 → 说明 B 没有拍手。
  • A 推断：“B 没拍手，说明 B 也看到了别人戴黑帽子，那就是我（A）戴了黑帽子。”
  • 所以 A 和 B 都会在第二次关灯时拍手。

但题目中第二次关灯也没人拍手 → 所以不可能只有 2 顶黑帽子。

情况 3：如果有 3 顶黑帽子

A、B、C 戴黑帽子。

  • A 看到 B 和 C 戴黑帽子。
  • A 会想：“可能只有 2 顶黑帽子（B 和 C），如果是这样，那么 B 和 C 应该在第二次关灯时拍手。”
  • 但第二次关灯没人拍手 → 说明 B 和 C 也没有拍手。
  • A 推断：“B 和 C 没拍手，说明他们也看到了不止一顶黑帽子，也就是说，除了 B 和 C，还有第三个人戴黑帽子，那个人就是我！”
  • 所以 A、B、C 都会在第三次关灯时拍手。

但题目中第三次关灯还是没人拍手 → 所以不可能只有 3 顶黑帽子。

情况 4：如果有 4 顶黑帽子

A、B、C、D 戴黑帽子。

  • A 看到 B、C、D 戴黑帽子（3 顶）。
  • A 会想：“可能只有 3 顶黑帽子（B、C、D），如果是这样，那他们应该在第三次关灯时拍手。”
  • 但第三次关灯没人拍手 → 说明 B、C、D 也没拍手。
  • A 推断：“他们没拍手，说明他们也看到了不止 3 顶黑帽子？不对，等等……他们每个人看到的是另外 3 人戴黑帽，但因为没人拍手，说明他们也怀疑自己戴黑帽。”
  • 更准确地说：A 意识到，如果他自己戴的是白帽子，那么 B、C、D 看到的就只有 2 个黑帽子（彼此），那他们应该像上面“情况3”那样在第三次拍手。
  • 但他们没拍手 → 说明 A 的假设“自己戴白帽子”是错的 → 所以自己也戴黑帽子。
  • 因此，在第四次关灯时，A、B、C、D 同时推断出自己戴黑帽子，于是拍手。

这与题目描述一致：第四次关灯才拍手。

✅ 结论：

有 4 人戴着黑帽子。

🎩 一般规律：

  • 如果有 N 顶黑帽子，那么拍手会发生在第 N 次关灯。
  • 因为每个人都需要通过前 N-1 次没人拍手来排除“只有 N-1 顶黑帽子”的可能性，从而推断出自己也戴黑帽子。

题目中是第 4 次拍手 → 所以有 4 顶黑帽子。

  1. 史密斯夫妇握手问题

史密斯夫妇邀请另外四对夫妇就餐，已知他们每个人都不和自己握手、不和自己的配偶握手、且不和同一个人握手一次以­上。在大家见面握手寒暄后，史密斯问大家握手了几次，每个人的答案都不一样。问：史密斯太太握手几次

解答：

  1. 总共10个人，每个人不与自己握手，不与配偶握手，不与同一个人握超过一次手，所以每个人最多握8次手，最少0次；
  2. Mr.Smith问其它9个人握了几次手，各人回答不一样，所以每个人的握手次数刚好为0-8次，每种不同次数有1个人；
  3. 有且只有一个人握了8次手，称之为A，即A与其配偶以外的所有人都握了手；
  4. 记A的配偶为a，除了A夫妇以外，所有人都至少握了1次手(和A)，所以握手0次的肯定是a；
  5. 从10个人中去掉A夫妇，因为A与其余每个人握了1次手，而a没有与别人握手，所以去掉A夫妇后，其它人的握手次数为1-7(不算Mr.Smith)，再去掉他们各自与A握的那次手不算，则各人的握手次数为0-6，还是每种不同次数刚好有1个人；
  6. 重复第3-5步4次，直到去掉4对夫妇，最终剩下Mr.&Mrs.Smith，这时Mrs.Smith的握手次数为0，加上4次循环中去掉的4次握手，她总共握­了4次手，与每对夫妇中的某一位各握了一次。

总结：史密斯夫妇邀请了N-1对夫妻，史密斯夫人就会和N-1个人握手

  1. 三人三鬼过桥问题

  2. 赛马问题

  3. 随机数问题：rand5 到 rand7

首先我们要知道随机数生成规则：randN函数生成1到N之间的均匀分布随机数。

randNN = N(randN - 1) + randN

生成randN^2需要使用randN，N相当于步长，randN相当于偏移量

然后再来看如何使用rand5生成rand7，我们可以使用rand5生成rand25的随机数，然后将25分成相同的7份，舍去大于21的结果，最后对每个结果取模7加1即可。

1
2
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7

int rand7() {
    int x = INT_MAX;
    while(x > 21) {
        x = 5*(rand5()-1) + rand5();
    }
    return x % 7 + 1;
}
  1. 砝码称重问题，这里举几个经典的。

【1】十组砝码每组十个，每个砝码都是10g重，但是现在其中有一组砝码每个都只有9g重，现有一个能显示克数的秤，最少称几次能找到轻的那组？参考回答：1次

解答：将每组的第i个砝码取出，称重，正常情况下应该是10g*10组=100g，如果称重结果是99g，那么轻的那组就是第1组，如果是98g就是第2组，以此类推。

【2】有12个球，其中有一个球的重量与其他球不同，且不知道是轻了还是重了，现有一个天平，最少称几次能找出这个球？参考回答：3次

解答：第一次称重，将12个球分成3组，每组4个，称任意两组，如果平衡则异常球在第三组，如果不平衡则异常球在两组中。第二次称重，将重球组再分成3组，每组1个，称任意两组，如果平衡则重球在第三组，如果不平衡则重球在较重的一组。第三次称重，找出重球。不管有多少球，肯定是3的倍数，要分成三组。

  1. 利用空瓶换饮料，最多喝几瓶

有a瓶饮料，b个空瓶换c瓶，最多喝几瓶；

解答：总饮用数 = a + floor((a - c) / (b - c))

  1. 毒药毒白鼠

有1000瓶药水，只有1瓶毒药，毒药1天生效。现在有十只白鼠，要在一天内找到这瓶毒药。

  1. 囚徒猜帽子问题

记住黑帽奇偶性

图片中的文字内容是：

10、小猴子搬香蕉

一个小猴子边上有100根香蕉，它要走过50米才能到家，每次它最多搬50根香蕉，（多了就被压死了），它每走1米就要吃掉一根，请问它最多能把多少根香蕉搬到家里？

（提示：他可以把香蕉放下往返的走，但是必须保证它每走一米都能有香蕉吃。也可以走到n米时，放下一些香蕉，拿着n根香蕉走回去重新搬50根。）

参考回答：这种试题通常有一个迷惑点，让人看不懂题目的意图。此题迷惑点在于：走一米吃一根香蕉，一共走50米，那不是把50根香蕉吃完了吗？如果要回去搬另外50根香蕉，则往回走的时候也要吃香蕉，这样每走一米需要吃掉三根香蕉，走50米岂不是需要150根香蕉？

其实不然，本题关键点在于：猴子搬箱子的过程其实分为两个阶段，第一阶段：来回搬，当香蕉数目大于50根时，猴子每搬一米需要吃掉三根香蕉。第二阶段：香蕉数《=50，直接搬回去。每走一米吃掉1根。

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